La théorie

La rotation et la géométrie sphérique sont des contraintes quasi omniprésentes dans la dynamique des fluides astrophysiques et géophysiques. Le problème majeur que l'on rencontre lorsqu'on traite des questions où ces deux facteurs sont présents est d'ordre mathématique: la rotation impose aux écoulements une géométrie cylindrique qui ne fait pas bon ménage avec la géométrie des frontières. Ce point est particulièrement évident lorsqu'on considère le problème des oscillations d'un fluide parfait (viscosité nulle) compris entre deux sphères en rotation. Linéarisé, ce problème conduit à une équation hyperbolique pour les perturbations de pression (équation de Poincaré) avec des conditions aux limites dites aux dérivées obliques. Mathématiquement le problème est mal posé et l'on commence seulement à comprendre la forme des solutions (voir ci-dessous). Pour contourner cette difficulté, j'ai rétabli la présence de la viscosité ce qui repose correctement le problème mais au prix d'un alourdissement dans l'ordre des dérivées partielles. Cette complication se trouve cependant levée lorsqu'on utilise les harmoniques sphériques car ce sont des fonctions propres de l'opérateur de viscosité. C'est donc en utilisant cette base de fonctions que j'ai pu donner une solution formelle à ce problème [1][2][3].

Ces solutions formelles m'ont permis de calibrer les résultats de calculs numériques obtenus en collaboration avec L. Valdettaro de l'institut polytechnique de Milan et V. Fraysse et collaborateurs au CERFACS (Centre Européen de Recherche et de Formation Avancée en Calcul Scientifique - Toulouse). En particulier nous avons mis au point une technique très performante de calcul des valeurs propres de grandes matrices, technique basée sur l'algorithme d'Arnoldi-Tchebychev [16].

Les résultats de ces calculs numériques nous ont permis de comprendre la structure des modes propres d'oscillation d'un fluide en rotation (les modes inertiels) et de montrer le rôle essentiel joué par les caractéristiques associées à la forme hyperbolique des équations [13][18]. En collaboration avec B. Georgeot (IRSAMC, laboratoire de physique quantique), j'ai pu donner la solution asymptotique (pour les petites viscosités) de ce vieux problème. Ces travaux ont été étendus au cas des fluides stratifiés en rotation par B. Dintrans et nous ont permis (avec L. Valdettaro) de remporter le premier prix Cray italien (1998).